Samopopisující se čísla

  Nebudeme se bavit o složité matematice. Ale výsledek pravděpodobně bude složitější, než většina z vás si dovede představit.   Taková čísla lze zadat minimálně třemi navzájem různými způsoby.

1. Krátká forma

Číslice na prvním místě uvádí, kolik číslic jedna  je použito v daném čísle Odpovědí je pak 1.

Pracujeme-li v desítkové soustavě, pak úlohu lze zobecnit na:

Nalezněte desetimístné číslo takové, že první číslice uvádí kolik číslic 0 je použito v daném čísle, číslice na druhém místě uvádí kolik číslic jedna až na posledním desátém místě je počet číslic 9.

Znáte řešení?

1. Dlouhý popis.

Následující číslo přepisuje předchozí číslo v slovní formě, pořadí je vždy dodrženo a dochází ke zkrácení všude kde je možné, nikoliv však k „sečítání výskytů“. 

Pak  posloupnost  1 2 2 3 můžete přepsat jako  --- jedna 1 dvě 2 jedna 3 ---  nebo-li 1 1 2 2 1 3 a tu pak následně jako 2 1 2 2 1 1 1 3 kde první číslo dvojice udává počet výskytů (jedna dvě tři … ) a druhá číslice dvojice co se tam vyskytuje ( 1 2 3 ..).

Zdá se pak logické, že posloupnost začínající například číslem 1 roste nade všechny meze:

1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, 1113213211, 1131211131221, 13211311123113112211, 11131221133112132113212221, 3113112221232112111312211312113211 ...

Abychom si úlohu zjednodušili, pak zkusme udělat „sečítání výskytů“. Pokud bude posloupnost před tím mít některé číslice stejné, přeskupíme je k sobě. Pak výraz 312211 z minulé přeskupíme jako 322111 a vznikne dalším krokem 132231 a pak 232221, 134211, 14131231 14231241 24132231 atd. Jak vidíme, tato posloupnost již nebude tak rozmáchlá a brzo se zacyklí. Uhádnete jak?

Odpovědět, jak se zacyklí či zastaví jednotlivé skupiny čísel, není jednoduché.

Vždyť např. 22 je „samoopisující“ tedy 22 22 22

 Tam patří i čísla

2, 33311012, 33311014, 33311015, 33311016, 33311018, 33311019, 33311210, 33311214, 33311215...

7 zase vede k posloupnosti 7, 17, 1117, 3117, 132117, 31131217, 23411217, 2213143117, 2241231417, 3224311317, 3322143117, 3322311417, 3322311417…

A 40 se dokonce po chvíli zacyklí v 4 cyklu. 40, 1410, 211410, 12311410, 4112131410, 2451121310, 221415411310, 225124151310, 322541141310, 232215244110, 421331152410, 242241231510, 422431131510, 242223411510, 422413311510

  Existuje nějaký jednoduchý způsob jak uhádnout, co se s číslicemi v řadě bude dít?

1. Záhadná čísla

Můžete přijít na to, kterou dvojici číslic vyměnit, aby následující bylo správně?

9998979595959595828282828282828276707070707070646464646464645151515113

Číslo popisuje sama sebe za konvence, že první z dvojice je počet číslic a druhé číslo je číslice, o které se mluví z hlediska počtu výskytu..

Nápověda:

Správně jsou:

20 20 32 33 

20 20 41 41 41 41 32 53 53 53 53 64 65 65 46